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Contents
1 INTRODUCTION ............................................. 1
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 INTRODUCTORY BACKGROUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Euler-Lagrange equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Definite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Variable domain of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Descent methods for unconstrained optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Real functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Integral functionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Optical flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 The gradient equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 The Horn and Schunck formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 The Aubert, Kornprobst, and Deriche formulation . . . . . . . . . 28
2.4.4 Optical flow of rigid body motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 BASIC METHODS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 The Mumford and Shah model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Bayesian interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Graduated non convexity implementation . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 The minimum description length method of Leclerc . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 MDL and MAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 The piecewise constant image model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 The region competition algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 A level set formulation of the piecewise constant Mumford-Shah
model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Curve evolution minimization of the Chan-Vese functional . 46
VI Contents
3.4.2 Level set representation of curve evolution . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Algorithm summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4 Numerical implementation details of the level set evolution
equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Edge-based approaches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 The Kass-Witkin-Terzopoulos Snakes model . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 The Geodesic active contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 MULTIREGION SEGMENTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Multiregion segmentation using a partition constraint functional term 61
4.3 Multiphase level set image segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Level set multiregion competition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Representation of a partition into a fixed but arbitrary
number of regions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2 Curve evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.3 Level set implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Multiregion level set segmentation as regularized clustering . . . . . . . 70
4.5.1 Curve evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 Level set implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Embedding a partition constraint directly in the minimization
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6.1 Two-region segmentation: first order analysis . . . . . . . . . . . . . 74
4.6.2 Extension to multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 IMAGE MODELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Segmentation by maximizing the image likelihood . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1 The Gaussian model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2 The Gamma image model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.3 Generalization to distributions of the exponential family . . . 91
5.2.4 The Weibull image Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.5 The Complex Wishart Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.6 MDL interpretation of the smoothness term coefficient . . . . . 98
5.2.7 Generalization to multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Maximization of the mutual information between the segmentation
and the image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1 Curve evolution equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.3 Algorithm summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Contents VII
5.4 Segmentation by maximizing the discrepancy between the regions
image distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.1 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.2 The kernel width . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.3 Algorithm summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5 Image segmentation using a region reference distribution . . . . . . . . . 111
5.5.1 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5.2 Summary of the algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 Segmentation with an overlap prior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6.1 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 REGION MERGING PRIORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Definition of a region merging prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 A minimum description length prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 An entropic region merging prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.1 Entropic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.2 Segmentation functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.3 Minimization equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.4 A region merging interpretation of the level set evolution
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.5 The weight of the entropic prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5.1 Segmentation with the entropic region merging prior . . . . . . 132
6.5.2 Segmentation with the MDL region merging prior . . . . . . . . . 133
6.5.3 Computation time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7 MOTION BASED IMAGE SEGMENTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Piecewise constant MDL estimation and segmentation of optical flow141
7.2.1 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Joint segmentation and linear parametric estimation of optical flow . 145
7.3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.2 Functional minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.3 Level set implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3.4 Multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
VIII Contents
8 IMAGE SEGMENTATION ACCORDING TO THE MOVEMENT
OF REAL OBJECTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2 The functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 Minimization of E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.3.1 Minimization with respect to the screws of motion . . . . . . . . 166
8.3.2 Minimization with respect to depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.3 Minimization with respect to the active curve . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.4 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.3.5 Uncertainty of scale in 3D interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.3.6 Multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.4 Minimization of E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.4.1 Minimization with respect to the essential parameter vectors 169
8.4.2 Minimization with respect to optical flow . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.4.3 Minimization with respect to γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.4.4 Recovery of regularized relative depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.4.5 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.4.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.5 Minimization of E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9 APPENDIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.1 The Horn and Schunck optical flow estimation algorithm . . . . . . . . . 181
9.1.1 Iterative resolution by the Jacobi and Gauss-Seidel iterations 183
9.1.2 Evaluation of derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.2 The Aubert, Deriche, and Kornprobst algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.3 Construction of stereoscopic images of a computed 3D interpretation 186
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189